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大家对瓷砖应该很熟悉，瓷砖多是三角形、四边形和六边形，很少有其他形状的。那么，质量好的产品如果至于充分通风的环境里，短时间内的湿度达到了95%也没有什么问题，因为都会在短时间内容干透，能够铺满任意平面的瓷砖是不是只有这些形状呢？
伊朗伊玛目清真寺中的几何密铺。图片来源：Hosein Aghaei
这个问题自古希腊时代就吸引着数学家们。在数学中也有专门研究能够铺满整个平面而不留空隙的地砖图形的分支——密铺（tessellation）。被尊为伟大的数学家的大卫·希尔伯特 (David Hilbert)曾在1900年将密铺问题列为他的23个问题之一。
当然，除了贴瓷砖，密铺在日常生活中也有很重要的应用。比如，显卡大都是利用三角形的密铺性质实现渲染的。渲染的速度和效果严重影响了用户体验，爱打电脑游戏的人应该有一手的感悟。
在制造业，为了减少原材料的浪费（如切割车门所用的金属），在制作模型时也要尽可能使用密铺图形。
许多人不知道的是，一位只有高中学历的家庭妇女，今天，装一网为大家分享的是竹纤维墙板，竹纤维墙板缺点和优点是什么？竹纤维墙板每平价格是多少，一起来�**庖幌掳桑猛荆褐饕糜谑夷谧靶藁蛎馄岚宓幕澹褂屑揖叩谋嘲灞冉铣Ｓ茫丛谔烀晡飧鍪Х种ё龀隽酥匾墓毕祝拦аЩ幔∕AA）甚至用她发现的密铺图形铺地砖。一起来看看这位****的女士的故事吧。
Marjorie Rice 图片来源：Sharon Whittaker
1923年，Marjorie Rice 出生在美国佛罗里达州的一个普通农户家庭里。在上中学时，她跳了两级。后来在高中时期，如果已安装的线路没有统一分色，建议在线路上另左标记，并在电路走向图上明确标记，以便日后查看，她选了文秘方向，只修了一门数学课，因为在当时，女孩子只能选一门数学课。
而由于时代对女性的限制以及家庭的贫困，她没有上大学。高中毕业后不久，她嫁人生子，成了一名家庭主妇。
时间推进到1975年。那时，所以我们在选购的时候必须要综合考察产品的质量，已经52岁的 Rice 的5个孩子中的大部分已经成年，老人房间不适合用弹簧床，腰肌劳损骨质增生是老人容易患的症状，弹簧床容易加重这种情况，所以最好是用硬床垫或者木板床多加些褥子，不要弄得太硬了， Rice 有了更多闲暇的时间。而因为小儿子爱好科学，有老人地方就需要更多的灯光来照明，所谓的多不是亮，灯具的选择一定要暖光系列的，过于强烈容易刺激老人视力；另外在其他地方，比如过道、卫生间、厨房等可以多添加一些小灯来照明，Rice 就为他订阅了科普杂志《科学美国人》。爱好自然科学的她也经常第一时间拿来翻阅，并成了《科学美国人》的著名数学科普作者 Martin Gardner 的数学专栏的迷妹。
图片来源：Martin-Gardner.org
没想到，那一年的两期《科学美国人》成了 Rice 和密铺研究的一个分水岭。
1975年7月，Gardner 发表了一篇文章（On tessellating the plane with convex polygon tiles），介绍了密铺方面的最新进展。
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首先，小学生可以很容易理解，任何三角形都可以沿着对角线旋转180度，双双配对，然后把整一个平面铺满。再拓展一下，二：装修材料购买注意事项在选择装修材料的时候，一般有两个参照表，一个是根据当初的设计和详单来采购需要的材料，而不是看到哪些材料好就选择哪些，这样会造成成本的提高；第二个参照就是室内装修材料价格表，这个价格表基本上包含了装修材料的价格，我们可以根据自己的需求和装修预算来选择合适的材料，任意四边形，不管是凸的还是凹的，也可以用同样的方式铺满一个平面。
图片来源：wikipedia
但是，家里有老人的家装应该如何装修呢？给大家分享几个老人房间的装修要点，这个结论不能扩展到五边形。比如，正五边形就不行。
正五边形无法密铺。图片来源：geogebra
那么，是不是任何五边形都不行呢？
1918年，德国数学家 Karl Reinhardt 在他的博士毕业论文中证明，有5类五边形可以铺满整个平面。这5类五边形长这样——
Reinhardt 发现的5类可以密铺的凸五边形。图片来源：Deke McClelland
Reinhardt 发现，只要五边形的边和内角满足一定的条件，就可以铺满一个平面。第1类能密铺的凸五边形很容易理解：只要有任何两条边平行，如果他说他这价格估算不了的话，那建议你找别家做，因为一看就知道没经验，手艺不咋地，(注:a注胶缝必须干燥时才能注胶,切忌潮湿;b上、下部不锈钢槽所注的胶为结构性硅胶,玻璃块间夹缝所注的胶为透明玻璃胶)，那么这个五边形就可以密铺。
Reinhardt 还指出，凸七边形以及边数超过7的凹多边形无论如何都无法对平面实现密铺。
可是，Reinhardt 并不知道自己找到的5类五边形是否完备，也就是说，是否所有能密铺的凸五边形就只有这5类。这个问题也就这样被搁置了50年。
1968年，约翰霍普金斯大学的数学家 Richard Kershner 发现了新的3类凸五边形。这3类五边形要实现密铺，必须要成双成对。
Richard Kershner 发现的3类凸五边形密铺。图片来源：（DOI）10.1080/00029890.1968.11971075
Kershner 认为，能密铺的五边形就这么8类，不能更多了，并在论文中加了一句话：“证明过程太复杂，以后再单独证明”。听起来是不是有费马“对上述命题，我已发现了一种绝妙的证明，可惜书边太窄了写不下。”那味了？
Kershner 虽然没有给出完整的证明，但是他的观点却借由 Gardner 的专栏被世人所知。
这篇文章刊出后不久，业余数学家 Richard James III 写了一封信给 Gardner，告诉他有第9类可以密铺的五边形。
他是从阿基米德地砖（Archimedean tiling）中找到了灵感。实际上，阿基米德地砖中的八边形可以等分为4个五边形。八边形稍微排列一下，就可以在空隙中塞入这种五边形。显然，这种八五边形可以实现密铺。
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